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发布时间: 2024年11月25日 21:51
证法1作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。
过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED,∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c,∴ ABEG是一个边长为c的正方形。∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°即 ∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则A²+B²=C².证法2作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC,交AC于点P.过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点F作FN⊥PQ,垂足为N.∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,∴ ∠MPC = 90°,∵ BM⊥PQ,∴ ∠BMP = 90°,∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,∴ ∠QBM = ∠ABC,又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a²+b²=c²证法3作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,∴FI=a,∴G,I,J在同一直线上,∵CJ=CF=a,CB=CD=c,∠CJB = ∠CFD = 90°,∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直线上,a²+b²=c².证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD. 过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD,∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,∵ ΔFAB的面积等于,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证,矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ 即a²;+b²;=c²;证法5(欧几里得的证法)《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下:设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。把这两个结果相加, AB²+ AC²; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB ²+ AC²= BC²。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的证法6(欧几里德(Euclid)射影定理证法)如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高通过证明三角形相似则有射影定理如下:
(1)(BD)^2;=AD·DC,(2)(AB)^2;=AD·AC ,(3)(BC)^2;=CD·AC 。由公式(2)+(3)得:(AB)^2;+(BC)^2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)^2;,图1即 (AB)^2;+(BC)^2;=(AC)^2,这就是勾股定理的结论。图1证法七(赵爽弦图)在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:4×(ab/2)+(b-a)^2;=c^2;化简后便可得:a^2;+b^2;=c^2;亦即:c=(a^2;+b^2;)1/2勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。
2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。
3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月, 227-234页。
4. 李继闵: 商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页 。
5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页证法8(达芬奇的证法)达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。证明:第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'因为S1=S2所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF2+OE2=E'F'2因为E'F'=EF所以OF2+OE2=EF2勾股定理得证。证法9从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下:b ( a + b )= 1/2c² + ab + 1/2(b + a)(b - a)矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直角三角形。(简化) 2ab + 2b²= c² + b ²- a ²+ 2ab2b² - b ²+ a²= c²a² + b²= c ²注:根据加菲尔德图进一步得到的图形。