素数是什么

01

素数又称质数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。

一个自然数（如1、2、3、4、5、6等）若恰有两个正约数（1及此数本身），则称之为素数。大于1的自然数若不是素数，则称之为合数。

数字12不是素数，因为将12以每4个分成1组，恰可分成3组（也有其他分法）。11则无法分成数量都大于1且都相同的各组，而都会有剩余。因此，11为素数。

在数字1至6间，数字2、3与5为素数，1、4与6则不是素数。1不是素数，其理由见下文。2是素数，因为只有1与2可整除该数。接下来，3亦为素数，因为1与3可整除3，3除以2会余1。因此，3为素数。不过，4是合数，因为2是另一个（除1与4外）可整除4的数：

4 = 2 · 2

5又是个素数：数字2、3与4均不能整除5。接下来，6会被2或3整除，因为

6 = 2 · 3

因此，6不是素数。右图显示12不是素数：12 = 3 · 4。不存在大于2的偶数为素数，因为依据定义，任何此类数字n均至少有三个不同的约数，即1、2与n。这意指n不是素数。因此，“奇素数”系指任何大于2的素数。类似地，当使用一般的十进位制时，所有大于5的素数，其尾数均为1、3、7或9，因为偶数为2的倍数，尾数为0或5的数字为5的倍数。

若n为一自然数，则1与n会整除n。因此，素数的条件可重新叙述为：一个数字为素数，若该数大于1，且没有

2, 3, , n − 1

会整除n。另一种叙述方式为：一数n > 1为素数，若不能写成两个整数a与b的乘积，其中这两数均大于1：

n = a · b

换句话说，n为素数，若n无法分成数量都大于1且都相同的各组。

由所有素数组成之集合通常标记为P或

。

前168个素数（所有小于1000的素数）为

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 （OEIS中的数列A000040）。

什么是“素数”？

素数就是质数。

质数又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

举例：

（1）5这个数，只能分解成5×1，所以5是一个质数。

（2）8这个数，除了分解成8×1以外，还可以分解成2×4，所以8不是质数。

扩展资料：

质数的一些性质：

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（3）质数的个数是无限的。

质数的应用：

（1）质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。

（2）在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

参考资料：

什么是素数

素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。

有的数，如果单凭印象去捉摸，是无法确定它到底是不是素数的。有些数则可以马上说出它不是素数。一个数，不管它有多大，只要它的个位数是2、4、5、6、8或0，就不可能是素数。

素数的定义是什么

素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任

何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12

＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以

外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。

有的数，如果单凭印象去捉摸，是无法确定它到底是不是素数的。有些数则

可以马上说出它不是素数。一个数，不管它有多大，只要它的个位数是2、4、

5、6、8或0，就不可能是素数。此外，一个数的各位数字之和要是可以被3

整除的话，它也不可能是素数。但如果它的个位数是1、3、7或9，而且它的

各位数字之和不能被3整除，那么，它就可能是素数（但也可能不是素数）。没

有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数。你只能试试看能不能将这

个数表示为两个比它小的数的乘积。

找素数的一种方法是从2开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的

数列出来（一直列到你不想再往下列为止，比方说，一直列到10，000）。

第一个数是2，它是一个素数，所以应当把它留下来，然后继续往下数，每隔一

个数删去一个数，这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉。在留

下的最小的数当中，排在2后面的是3，这是第二个素数，因此应该把它留下，

然后从它开始往后数，每隔两个数删去一个，这样就能把所有能被3整除的数全

都去掉。下一个未去掉的数是5，然后往后每隔4个数删去一个，以除去所有能

被5整除的数。再下一个数是7，往后每隔6个数删去一个；再下一个数是11

，往后每隔10个数删一个；再下一个是13，往后每隔12个数删一个。……

就这样依法做下去。

你也许会认为，照这样删下去，随着删去的数越来越多，最后将会出现这样

的情况；某一个数后面的数会统统被删去崮此在某一个最大的素数后面，再也不

会有素数了。但是实际上，这样的情况是不会出现的。不管你取的数是多大，百

万也好，万万也好，总还会有没有被删去的、比它大的素数。

事实上，早在公元前300年，希腊数学家欧几里得就已证明过，不论你取

的数是多大，肯定还会有比它大的素数，假设你取出前6个素数，并把它们乘在

一起：2＊3＊5＊7＊11＊13＝30030，然后再加上1，得3003

1。这个数不能被2、3、5、7、11、13整除，因为除的结果，每次都会

余1。如果30031除了自己以外不能被任何数整除，它就是素数。如果能被

其它数整除，那么30031所分解成的几个数，一定都大于13。事实上，3

0031＝59＊509。

对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数，都可以这样做。如果算出了它

们的乘积后再加上1，那么，所得的数或者是一个素数，或者是比所列出的素数

还要大的几个素数的乘积。不论所取的数有多大，总有比它大的素数，因此，素

数的数目是无限的。

随着数的增大，我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对，如5

，7；11，13；17，19；29，31；41，43；等等。就数学家所

能及的数来说，它们总是能找到这样的素数对。这样的素数对到底是不是有无限

个呢？谁也不知道。数学家认为是无限的，但他们从来没能证明它。这就是数学

家为什么对素数感兴趣的原因。素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实

却非常难以解决的问题，他们目前还没能对付这个挑战哩。

这个问题到底有什么用处呢？它除了似乎可以增添一些趣味以外，什么用处

也没有。

什么是素数呢

具体

根据题意，假设n不是2的方幂，则含有奇约数p，设n=pm。

可计算：

2^n+1=（2^m+1）2^m（p-1）-2^m（p-2）+2^m（p-3）+2^m(p-p）

2^m+1>2+1=3>1

也就是：2^m（p-1）-2^m（p-2）+2^m（p-3）+2^m（p-p）的最后一项为1。

则2^n+1可分解成两个大于1的数的乘积，所以2^n+1不是质数，矛盾，所以是2的方幂。

素数的性质如下：

如果为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立，也就是说，素数有无穷多个。

质数(又称为素数）

1就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的因数，这种整数叫做质数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。2素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任 何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；

又如，12 ＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以 外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。

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