互质(relativelyprime)又叫互素。若n个整数的最大公因数是1,则称这n个整数互质。例如8,10的最大公因数是2,不是1,因此不是整数互质。10不能整除8。7,10,13的最大公因数是1,因此这是整数互质。5和5不互质,因为5和5的公因数有1、5。1和任何数都成倍数关系,但和任何数都互质。因为1的因数只有1,而互质数的原则是:只要两数的公因数只有1时,就说两数是互质数。1只有一个因数(所以1既不是质数(素数),也不是合数),无法再找到1和其他数的别的公因数了,所以1和任何数都互质(除0外)。
互质数是数学中的一种概念,即两个或多个整数的公因数只有 1的非零自然数,叫做互质数。
互质数具有以下定理:
1、两个数的公因数只有1的两个非零自然数,为互质数;
2、多个数的最大公因数只有1的正整数,为互质数;
3、两个不同的质数,为互质数;
4、1和任何自然数互质,两个不同的质数互质;一个质数和一个合数,这两个数不是倍数关系时互质;不含相同质因数的两个合数互质;
5、任何相邻的两个数互质;
6、任意取出两个正整数,它们互质的概率为6/π 2 。
小学数学教材对互质数是这样定义的:“公约数只有1的两个数,叫做互质数”
这里所说的“两个数”是指自然数
“公约数只有 1”,不能误说成“没有公约数”
判别方法:
(1)两个质数一定是互质数
例如,2与7、13与19
(2)一个质数如果不能整除另一个合数,这两个数为互质数
例如,3与10、5与 26
(3)1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数在一起都是互质数如1和9908
(4)相邻的两个自然数是互质数如 15与 16
(5)相邻的两个奇数是互质数如 49与 51
(6)大数是质数的两个数是互质数如97与88
(7)小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数如 7和 16
(8)两个数都是合数(二数差又较大),小数所有的质因数,都不是大数的约数,这两个数是互质数
如357与715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的约数,这两个数为互质数
(9)两个数都是合数(二数差较小),这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数,这两个数是互质数如85和78
85-78=7,7不是78的约数,这两个数是互质数
(10)两个数都是合数,大数除以小数的余数(不为“0”且大于“ 1”)的所有质因数,都不是小数的约数,这两个数是互质数如 462与 221
462÷221=2……20,
20=2×2×5
2、5都不是221的约数,这两个数是互质数
(11)减除法如255与182
255-182=73,观察知 73182
182-(73×2)=36,显然 3673
73-(36×2)=1,
(255,182)=1
所以这两个数是互质数
三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况:一种是这些成互质数的自然数是两两互质的如2、3、4另一种不是两两互质的如6、8、9
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