爱因斯坦与毕达哥拉斯定理 王伯年宋利敏史兆申（上海理工大学，上海200093） [摘要]基于对可靠而原始的爱因斯坦传记材料、爱因斯坦的《自述》和欧几里得《几何原本》的分析，可以证实爱因斯坦12岁时曾独立地得出了毕达哥拉斯定理的一种证明，而且这是为数众多证法中最为简单和最好的。然而，这不是创新的，因为《几何原本》中就有了这一证法。爱因斯坦天赋的好奇心、敏锐的理性思维、勤奋的钻研精神和启蒙者对他的教育是这一奇迹发生的必要条件。[关键词]爱因斯坦；毕达哥拉斯定理；欧几里得；几何原本 2004年6月，联合国第58次会议决定：2005年为世界物理年。用一门科学命名世界年，这是联合国历史上还是第一次，这是为了纪念1905年爱因斯坦奇迹般地发表划时代意义的5篇学术论文100周年，同时也是纪念这位20世纪最伟大的物理学家逝世50周年。爱因斯坦不是一位数学家，而是一位理论物理学家。他将当时处于创建阶段的张量分析用于广义相对论，不但为这种理论找到了有效的数学工具，并对推动和完善张量分析在数学中的发展起到了重要的作用。此外，爱因斯坦还在爱因斯坦求和约定和爱因斯坦张量等方面对数学作出了直接的贡献。本文不研究爱因斯坦与张量分析的关系，而研究数学中一条十分重要的定理—毕达哥拉斯定理（以下简称为毕氏定理）与爱因斯坦的关系，这与他在12岁时是否创新地得到了该定理的证明有关。1一些重要的说法1.11921年Moszkowski的说法Alexander Moszkowski（1851-1934）是与爱因斯坦早年有密切交往的柏林文艺批评家，他从1919年夏季至1920年秋季曾与爱因斯坦作了一系列的对话，随即出版了有关爱因斯坦第一本传记的英文本和德文本，此书英文本于1972年再版，书名改为《与爱因斯坦的对话》[5]。显然，该书初版内容是得到爱因斯坦认可的。其中有爱因斯坦与毕氏定理关系的首次较为详细的报导，Moszkowski写道：“有一次雅可比叔叔向爱因斯坦讲了毕氏定理的内容，而未讲任何证明。他的侄儿理解所涉及的关系，并感到可基于一种理由而推导出来。……这个小孩在三个星期中用其全部的思维力量去证明这一定理。他专注到三角形的相似性（从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线）得到了一个证明。为此，他长时间的激动！这虽然仅涉及到一个非常古老的著名定理，他却经历了发现者首次的快乐。”1.2 1924年Maja Einstein的说法爱因斯坦的妹妹Maja Einstein（1818-1951）在1924年2月15日写成了《阿尔伯特??爱因斯坦——为他的生平事略而作》一文，但一直未公开发表。由于此文的重要性，《爱因斯坦全集》的编者于1986年将此文的部分内容载于全集第一卷正文之前，此文涉及到爱因斯坦12岁时证明毕氏定理的内容。对于爱因斯坦学习几何，Maja 在文中写道[6-7]：“他不是从书中得知它们的证明，而是企图自己来证明它们。”又说：“阿尔伯特总是找到了正确的证明，甚至还发现证明毕达哥拉斯定理的一个崭新的方法。获得这样的结果，这个孩子感到莫大的幸福，这时他自己已经意识到他的才能指点他的道路。”这段话清楚表明作者认为爱因斯坦曾给出毕氏定理一个崭新的证明，而且这段经历对爱因斯坦以后从事科学研究有重大影响。此外，全集的编者还对此事加注说：“根据这篇文章（指爱因斯坦的《自述》）中的叙述和Moszkowski书中第222-223页的内容，就可以重建他的证明。”这说明全集编者认同Maja的说法，并向读者提供了证实这一说法的参考文献。1.3 1930年Anton Reiser 的说法Anton Reiser（1889-1964）是Rudolph Kayser 的笔名，他是一位德语专家，1924年与爱因斯坦的继女结婚，1930年发表了《爱因斯坦传》一书[8]。此书曾得到过爱因斯坦充分的认可，他为该书曾写了一段话，其中有一句为：“我感到这本书从头到尾讲的事都是相当确凿的。”[9]Reiser 对爱因斯坦证明毕氏定理的事写道：“他的叔叔向他讲了毕氏定理，只讲了内容，而未讲证明。这个孩子的雄心大志是不借助现有的最少的几何知识，去发现他自己的证明。奇迹终于发生了……，他独立地成功证明了欧几里得几何的关键定理。……当Spieker的几何书到了他手里时，除了2到3道难题外，他迅速成功地解答了所有的习题。”1.4 1932年Talmey的说法Max Talmey（1869-1941）是爱因斯坦10岁到15岁时与之密切相处，并对爱因斯坦给予良好教育的人，1932年发表了[10] ，并在[11] 中有着爱因斯坦少年时学习数学的生动描述。他写道：“我给他Spieker的几何学教科书自学。每周我惯常去他家一次，他总是很高兴给我看他上周解出的新习题。开始时，我帮助他解难题，……，过了不久，几个月，他已经把Spieker整本书都学完了。……不久，他的数学天才飞得那么高，我不再能跟得上了。”Talmey所述内容中，并未提及爱因斯坦证明毕氏定理一事。2爱因斯坦本人的说法应P. A. Schilpp的请求，爱因斯坦在1946年写了《自述》一文，“向共同奋斗着的人们讲一讲一个人自己努力和探索过的事情”。此文首先发表在[12] 中，中文译文见[13] 。爱因斯坦在此文中写道：“在12岁时，……有位叔叔曾经把毕达哥拉斯定理告诉了我。经过艰巨的努力以后，我根据三角形相似性成功地‘证明了’这条定理；在这样做的时候，我觉得，直角三角形各个边的关系‘显然’完全决定于它的一个锐角。在我看来，只有在类似方式中不是表现得很‘显然’的东西，才需要证明。”值得注意的是：爱因斯坦在‘证明了’上面打了引号，这意味了这样的‘证明了’，是有限定意义的。3爱因斯坦对质疑的答复1953年3月14日在爱因斯坦74岁生日宴会之前，举行了一个简短的记者招待会，他收到了一份书面的问题单，其中第一个问题就涉及在他12岁证明毕氏定理的事，爱因斯坦对此作了明确的回答[14] 。第一个问题是：“据说你在5岁时由于一只指南针，12岁时由于一本欧几里得几何学而受到决定性的影响。这些东西对你一生的工作果真有过影响吗？”爱因斯坦回“我自己是这样想的。我相信这些外界的影响对我的发展确是有重大影响的。但是人们很少洞察到他自己内心所发生的事情。当一只小狗第一次看到指南针时，它可能没有类似的影响，对许多小孩子也是如此。事实上决定一个人的特殊反应的究竟是什么呢？在这个问题上，人们可以设想各种或多或少能够行得通的理论，但是决不会找到真正的答案。”由此可见，在爱因斯坦逝世前一年，他仍然充分肯定他少年证明毕氏定理之事对他一生重大的影响。4爱因斯坦的证明方法至今未见到爱因斯坦12岁时对毕氏定理证明的详细内容，但是按照上述材料，不难正确地推论出他的方法如下所示。专注到三角形的相似性，从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线，设交点为D（见图1）。两直角三角形的相似，完全取决于它们的一个锐角，如果有一锐角相等，二者相似；否则，不相似。在图1中，△ABC、△DBC、△DCA彼此都是相似的，因为它们有一锐角是相等的。△ABC与△DBC因相似，二者的两对应边长之比相等，即c/a=a/e，ec=a2（1）对△ABC与△ACD，同理有c/b=b/f，fc=b2（2）（1）+（2），得到：ec+fc=（e+f）c=c2=a2+b2（3）上式就是毕达哥拉斯定理的内容。由上可知：基于对直角三角形的斜边作垂直，构成两个与原直角三角形相似的直角三角形，再利用两相似三角形的对应的边长之比相等，即可导出毕氏定理。据作者的分析与研究，这种证明是现有约300种毕氏定理证法中[14] 最为简单的：仅需作一条辅助线和仅需三步推理运算，即可推导出毕氏定理。因此，这种证法是最好的。5爱因斯坦的证明是创新的吗？ 仔细阅读欧几里得的《几何原本》[15] 就会得知，在这本划时代的经典著作中，对毕氏定理不仅提出了人们所熟悉的在直角三角形的三条边上，向外分别作三个正方形的比较繁的证法，而且还有另外的基于相似三角形相似特性的证法，其内容与图1所示的方法完全相同，仅是叙述较繁，而且把内容置于第Ⅵ卷命题8和命题31之中，并表达为：“在直角三角形中，对直角的边上所作图形（的面积）等于夹直角边上所作与前图形相似且有相 似位置的两图形（的面积）的和。”爱因斯坦知道《几何原本》中上述证法吗？他12岁时，不会知道。因为对于一个12岁的小孩，通常是不会去查阅2000多年前的经典文献。在爱因斯坦成人，尤其是成名之后，他有可能会阅读《几何原本》，也有可能会读到《几何原本》中关于毕氏定理的基于相似三角形特性的证法。因此，与爱因斯坦深谈过的Moszkowski写他‘证明了这一定理’，爱因斯坦的女婿Reiser写他‘独立地成功证明了欧几里得几何的关键定理’，爱因斯坦少年时期的教导者、有着良好的科学素养的Max Talmey根本就没有突出爱因斯坦与毕氏理论的关系，以及爱因斯坦本人在‘证明了’这条定理的证明了上面打上引号，所有这些说法都是可以理解了！至于爱因斯坦的妹妹Maja说她哥哥“发现证明毕达哥拉斯定理的一个崭新的方法”之不确切，只能归因于她缺乏科学背景的原因。《爱因斯坦全集》编者认同Maja对此的附注，也只能归因他们未曾对毕氏定理的种种证法作过深入的分析与研究。6结论(1)爱因斯坦12岁时，在未学过平面几何的情况下，曾基于三角形的相似特性，独立地给出了毕氏定理的一个证法，而且这一证法是毕氏定理中最简单和最好的证法。(2)爱因斯坦这一证法并不是创新的或崭新的，因为在公元前的欧几里得《几何原本》中，已经有了这种证法。(3)爱因斯坦之所以在12岁时完成了常人无法达到的成果，是由于他天赋的好奇心、敏锐的理性思维、刻苦的钻研精神以及启蒙者对他谆谆教导的结果。(4)经典著作，如《几何原本》等是无价的知识宝库。对于研究者而言，深入钻研经典著作是必不可忽缺的。
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