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发布时间: 2024年12月23日 09:19
当一个圆以一条直线为对称轴线对称时,其对称圆的圆心一定在对称轴线上,并且对称圆与原圆上任意一点到对称轴线的距离相等。因此,我们可以利用这些特点求出圆关于直线对称的圆的方程。
设原圆的圆心坐标为 $(a,b)$,半径为 $r$,直线方程为 $L:ax+by+c=0$。则对称圆的圆心坐标必然在直线 $L$ 上,设其坐标为 $(m,n)$。由于圆心到直线 $L$ 的距离等于半径 $r$,可以列出以下方程组:
$$begin{cases} dfrac{|am+bn+c|}{sqrt{a^2+b^2}} = r m = alambda-c n = blambda-c end{cases}$$
其中 $lambda$ 为任意实数。将第二行和第三行代入第一行,整理后可得:
$$(a^2+b^2)lambda^2+2(ac+bd)lambda+(c^2+d^2-r^2) = 0$$
解得 $lambda_1$ 和 $lambda_2$,则对称圆的圆心坐标分别为 $(alambda_1-c,blambda_1-d)$ 和 $(alambda_2-c,blambda_2-d)$。
对于每个对称圆,其半径与原圆相等,因此对称圆的方程为:
$$(x-alambda_i+c)^2+(y-blambda_i+d)^2=r^2$$
其中 $i=1,2$ 代表两个对称圆。这就是圆关于直线对称的圆的方程。
需要注意的是,如果直线 $L$ 恰好通过原圆的圆心,那么对称圆的半径为 $0$,其方程为 $(x-a)+(y-b)=0$,即原圆的圆心。