如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=
x2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．
（1）证明：∵A（0，1），B（0，-1），
∴OA=OB．
又∵BQ∥x轴，
∴HA=HQ；
（2）证明：①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，
∵AR∥PQ，
∴∠RAH=∠PQH，
∴△RAH≌△PQH．
∴AR=PQ，
又∵AR∥PQ，
∴四边形APQR为平行四边形．
②设P（m，
m2），
∵PQ∥y轴，则Q（m，-1），则PQ=1+m2．
过P作PG⊥y轴，垂足为G．
在Rt△APG中，AP=
+1=PQ，
∴平行四边形APQR为菱形；
（3）解：设直线PR为y=kx+b，
由OH=CH，得H（
，0），P（m，m2）．
代入得：
，
∴
．
∴直线PR为
．
设直线PR与抛物线的公共点为（x，x2），代入直线PR关系式得：x2-x+m2=0，（x-m）2=0，
解得x=m．得公共点为（m，m2）．
所以直线PH与抛物线y=x2只有一个公共点P．
分析：（1）由点的坐标知OA=OB，O为A，B的中点，利用三角形中位线定理可得（1）结论；
（2）要证四边形为平行四边形，由题找到两对边平行且相等，就可以了．在进一步证菱形，验证平行四边形相邻边相等就行了；
（3）判断有无公共点，要联立方程，看方程是否有解，若有解就存在．
点评：此题考查函数性质及三角形中位线定理，判断平行四边形及菱形的判断定理，最后把求公共点的问题，转化为判断方程有无解的问题．
∴OA=OB．
又∵BQ∥x轴，
∴HA=HQ；
（2）证明：①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，
∵AR∥PQ，
∴∠RAH=∠PQH，
∴△RAH≌△PQH．∴AR=PQ，
又∵AR∥PQ，
∴四边形APQR为平行四边形．
②设P（m，
m2），∵PQ∥y轴，则Q（m，-1），则PQ=1+
m2．过P作PG⊥y轴，垂足为G．
在Rt△APG中，AP=
+1=PQ，∴平行四边形APQR为菱形；
（3）解：设直线PR为y=kx+b，
由OH=CH，得H（
，0），P（m，m2）．代入得：
，∴
．∴直线PR为
．设直线PR与抛物线的公共点为（x，
x2），代入直线PR关系式得：x2-x+m2=0，（x-m）2=0，解得x=m．得公共点为（m，
m2）．所以直线PH与抛物线y=
x2只有一个公共点P．分析：（1）由点的坐标知OA=OB，O为A，B的中点，利用三角形中位线定理可得（1）结论；
（2）要证四边形为平行四边形，由题找到两对边平行且相等，就可以了．在进一步证菱形，验证平行四边形相邻边相等就行了；
（3）判断有无公共点，要联立方程，看方程是否有解，若有解就存在．
点评：此题考查函数性质及三角形中位线定理，判断平行四边形及菱形的判断定理，最后把求公共点的问题，转化为判断方程有无解的问题．
