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5.如图,在平面直角坐标xOy内,函数y=$\frac{m}{x}$(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连结A

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题目详情:

5.如图,在平面直角坐标xOy内,函数y=$\frac{m}{x}$(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连结AD,DC,CB.
(1)求m的值;
(2)求证:DC∥AB;
(3)当AD=BC时,求直线AB的函数表达式.

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2024-10-24 04:44:26

分析 (1)直接把点A(1,4)代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$,求出m的值即可;
(2)设BD,AC交于点E,利用锐角三角函数的定义得出tan∠EAB=tan∠ECD,进而可得出结论;
(3)根据DC∥AB,当AD=BC时,有两种情况:
①当AD∥BC时,由中心对称的性质得出a的值,故可得出点B的坐标,利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可;
②当AD与BC所在直线不平行时,由轴对称的性质得:BD=AC,求出a的值,故可得出点B的坐标,
设直线AB的函数表达式为y=kx+b,分别把点A,B的坐标代入,利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可.

解答 解:(1)∵函数$y=\frac{m}{x}$(x>0,m是常数)图象经过A(1,4),
∴m=4;

(2)解法1,设BD,AC交于点E,
∵在Rt△AEB中,tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{a-1}{4-\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$;
在Rt△CED中,tan∠ECD=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$;
∴∠EAB=∠ECD;
∴DC∥AB.
解法2,设BD,AC交于点E,根据题意,可得B点的坐标为(a,$\frac{4}{a}$),D点的坐标为(0,$\frac{4}{a}$),E点的坐标为(1,$\frac{4}{a}$).
∵a>0,AE=4-$\frac{4}{a}$,CE=$\frac{4}{a}$,EB=a-1,ED=1;
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{4-\frac{4}{a}}{\frac{4}{a}}$=a-1,
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{EB}{ED}$=a-1.
又∵∠AEB=∠CED;
∴△AEB∽△CED
∴∠EAB=∠ECD;
∴DC∥AB.

(3)解法1,∵DC∥AB,
∴当AD=BC时,有两种情况:
①当AD∥BC时,由中心对称的性质得:BE=DE,则a-1=1,得a=2.
∴点B的坐标是(2,2).
设直线AB的函数表达式为y=kx+b,分别把点A,B的坐标代入,得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$
∴直线AB的函数表达式是y=-2x+6.
②当AD与BC所在直线不平行时,由轴对称的性质得:BD=AC,
∴a=4,
∴点B的坐标是(4,1).
设直线AB的函数表达式为y=kx+b,分别把点A,B的坐标代入,
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$
∴直线AB的函数表达式是y=-x+5.
综上所述,所求直线AB的函数表达式是y=-2x+6或y=-x+5.
解法2,当AD=BC时,AD2=BC2
在Rt△AED中,AD2=AE2+DE2;  在Rt△BEC中,BC2=BE2+CE2
∴${(4-\frac{4}{a})^2}+{1^2}={(a-1)^2}+{(\frac{4}{a})^2}$,
整理得:a3-2a2-16a-32=0,
∴(a-2)(a+4)(a-4)=0;
∴a=2或a=-4或a=4,
∵a>1,
∴a=2或a=4.
①当a=2时,点B的坐标是(2,2).
设直线AB的函数表达式为y=kx+b,分别把点A,B的坐标代入,
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$
∴直线AB的函数解析式是y=-2x+6.
②当a=4时,点B的坐标是(4,1).
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,分别把点A,B的坐标代入,
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$
∴直线AB的函数表达式是y=-x+5.
综上所述,所求直线AB的函数表达式是y=-2x+6或y=-x+5.

点评 本题考查的是反比例函数综合题,涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识,难度适中.

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