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15.如图,AB为⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交⊙O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为4.

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15.如图,AB为⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交⊙O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为4.

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2024-10-24 04:45:44

分析 OC交BE于F,如图,有圆周角定理得到∠AEB=90°,加上AD⊥l,则可判断BE∥CD,再利用切线的性质得OC⊥CD,则OC⊥BE,原式可判断四边形CDEF为矩形,所以CD=EF,接着利用勾股定理计算出BE,然后利用垂径定理得到EF的长,从而得到CD的长.

解答 解:OC交BE于F,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵AD⊥l,
∴BE∥CD,
∵CD为切线,
∴OC⊥CD,
∴OC⊥BE,
∴四边形CDEF为矩形,
∴CD=EF,
在Rt△ABE中,BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8,
∵OF⊥BE,
∴BF=EF=4,
∴CD=4.
故答案为4.

点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.解决本题的关键是证明四边形CDEF为矩形.

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