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12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹:①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;②过点D作AC的垂线,垂足为点E.(2)在(1)作出的图形中,

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12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹:
①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;
②过点D作AC的垂线,垂足为点E.
(2)在(1)作出的图形中,若CB=4,CA=6,则DE=$\frac{12}{5}$.

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2024-10-24 04:46:02

分析 (1)以C为圆心,任意长为半径画弧,交BC,AC两点,再以这两点为圆心,大于这两点的线段的一半为半径画弧,过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可,根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可;
(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC,进而证得DE=CE,由DE∥BC,推出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质即可推得结论.

解答 解:(1)如图所示;
(2)解:∵DC是∠ACB的平分线,
∴∠BCD=∠ACD,
∵DE⊥AC,BC⊥AC,
∴DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,
∴∠ECD=∠EDC,∴DE=CE,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$,
设DE=CE=x,则AE=6-x,
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{6-x}{6}$,
解得:x=$\frac{12}{5}$,
即DE=$\frac{12}{5}$,
故答案为:$\frac{12}{5}$.

点评 本题考查了角的平分线的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,基本作图,解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.

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