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1.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作⊙O的切线,分别交OA延长线与OC延长线于点E、F,连接BF.(1)求证:BF是⊙O的切线;(2)已知圆的半径为1,求

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1.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作⊙O的切线,分别交OA延长线与OC延长线于点E、F,连接BF.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径为1,求EF的长.

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2024-10-24 04:46:09

分析 (1)先证明四边形AOCD是菱形,从而得到∠AOD=∠COD=60°,再根据切线的性质得∠FDO=90°,接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)在Rt△OBF中,利用60度的正切的定义求解.

解答 (1)证明:连结OD,如图,∵四边形AOCD是平行四边形,
而OA=OC,
∴四边形AOCD是菱形,
∴△OAD和△OCD都是等边三角形,
∴∠AOD=∠COD=60°,
∴∠FOB=60°,
∵EF为切线,
∴OD⊥EF,
∴∠FDO=90°,
在△FDO和△FBO中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠FOD=∠FOB}\\{FO=FO}\end{array}\right.$,
∴△FDO≌△FBO,
∴∠ODF=∠OBF=90°,
∴OB⊥BF,
∴BF是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△OBF中,∵∠FOB=60°,
而tan∠FOB=$\frac{BF}{OB}$,
∴BF=1×tan60°=$\sqrt{3}$.
∵∠E=30°,
∴EF=2BF=2$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了切线的判断与性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.

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