题9．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，做线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．（1）当b=3时，在图1中补全图

分析 （1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线，过点B作出x轴的垂线即可．
（2）①分x＞O或x＜0两种情形利用勾股定理求出x与y的关系即可解决问题．
②由题意得d₁+d₂=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+|x|，列出方程即可解决问题．
③求出直线y=2与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的两个交点为（-$\sqrt{3}$，2）和（$\sqrt{3}$，2），利用这两个特殊点，求出k的值即可解决问题．

解答 解；（1）线段AB的垂直平分线l₁，过点B作x轴的垂线l₂，直线l_1与l₂的交点为P，如图所示，

（2）①当x＞0时，如图2中，连接AP，作PE⊥y轴于E，

∵l₁垂直平分AB，
∴PA=PB=y，
在RT△APE中，∵EP=BO=x，AE=OE-OA=y-1，PA=y，
∴y²=x²+（y-1）²，
∴y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，
当x＜0时，点P（x，y）同样满足y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，
∴曲线l就是二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$即曲线l是抛物线．
②∵d₁=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，d₂=|x|，
∴d₁+d₂=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+|x|，
当x=0时，d₁+d₂有最小值$\frac{1}{2}$，
∴d₁+d₂≥$\frac{1}{2}$，
∵d₁+d₂=8，则$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+|x|=8，
当x≥0时，原方程化为$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+x-8=0，解得x=3或（-5舍弃），
当x＜0时，原方程化为$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$-x-8=0，解得x=-3或（5舍弃），
∵x=±3时，y=5，
∴点P坐标（3，5）或（-3，5）．
③如图3中，

把y=2代入y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，解得x=$±\sqrt{3}$，
∴直线y=2与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的两个交点为（-$\sqrt{3}$，2）和（$\sqrt{3}$，2）．
当直线y=kx+3经过点（-$\sqrt{3}$，2）时，2=-$\sqrt{3}$k+3
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当直线y=kx+3经过点（$\sqrt{3}$，2）时，2=$\sqrt{3}$k+3，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线y=kx+3与这条“W”形状的曲线有四个交点时，k的取值范围是：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，利用勾股定理构建方程，学会转化的思想，最后一个问题的关键是取特殊点解决问题，属于中考压轴题．