二次函数与三角形

二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果#FormatImgID_0#（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数#FormatImgID_1#（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，#FormatImgID_2#变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数#FormatImgID_3#（a≠0）与一元二次方程#FormatImgID_4#（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：#FormatImgID_5#（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： #FormatImgID_6#（a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线#FormatImgID_7#与x轴有交点时，即对应二次好方程#FormatImgID_8#有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式#FormatImgID_9#，二次函数#FormatImgID_10#可转化为两根式#FormatImgID_11#。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  

• 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形

    (一)三角形的性质和判定：

   1、等腰三角形

  性质：两腰相等，两底角相等，三线合一(中线、高线、角平分线)。

  判定：两腰相等，两底角相等，三线合一(中线、高线、角平分线)的三角形是等腰三角形。

  2、直角三角形

  性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

  判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

  3、等腰直角三角形

  性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

  判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形

  4、等边三角形

  性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

  判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。