代数式中的一种有理式:不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者,则称为整式。(分母中含有字母有除法运算的,那么式子叫做分式)
1、单项式:数或字母的积(如5n),单个的数或字母也是单项式。
(1)单项式的系数:单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。(如果一个单项式,只含有数字因数,系数是它本身,次数是0)。
(2)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。
2、多项式
(1)概念:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。
(2)多项式的次数:多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
(3)多项式的排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
在做多项式的排列的题时注意:
(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符
看作是这一项的一部分,一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:
a、先确认按照哪个字母的指数来排列。
b、确定按这个字母降幂排列,还是升幂排列。
3、整式:单项式和多项式统称为整式。
4、列代数式的几个注意事项
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“· ”乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“· ”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式;
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成3/a的形式;
(6)a与b的差写作a—b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a—b和b—a 。
初中数学实数知识点
平方根:
①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。
立方根:
①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。
实数:
①实数分有理数和无理数。
②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。
③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
初中提高数学成绩诀窍
数学不能只依靠上课听得懂
很多初中生认为自己只要上数学课听得懂就够了,但是一做到综合题就蒙了,基础题会做,但是会马虎。这类问题都是学生在课堂上都以为自己听得懂就够了。
初中同学要首先对数学做一个认知,听得懂≠会做,会做≠拿的到分。听得懂只占你数学成绩的20%,仅仅听得懂只说明你理解能力还可以,不说明你能拿到很高的数学成绩。
只有听的懂理解了加上练,再加上多练,达到最后又快又准的做出来,这时候的数学成绩才会有长足的进步。
三个重要的数学思想
1、方程的思想。数学是研究事物的空间形式和数量关系的,初中数学最重要的就是等量关系,其次是不等量关系。最常见的等量关系就是方程。
2、数形结合的思想。任何一道题,只要与形沾边,就应该根据题意中的草图分析一番。这样做,不但直观,而且全面,整体性强。
3、对应的思想。
初中生数学成绩的提高,需要靠自己勤加练习和脚踏实地的去接受数学。
一、整式
单项式和多项式统称整式。
a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
b)单项式的系数是这个单项式的数字因数,作为单项式的系数,必须连同数字前面的性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数,系数为1或-1。
c)一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(注意:常数项的单项式次数为0)
a)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项。其中,不含字母的项叫做常数项。一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
b)单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数,但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数.
a)整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
b)括号前面是“-”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘。
二、同底数幂的'乘法
(,n都是整数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:
a)法则使用的前提条件是:幂的底数相同而且是相乘时,底数a可以是一个具体的数字式字母,也可以是一个单项或多项式;
b) 指数是1时,不要误以为没有指数;
c)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才能相加;
d)当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可推广为(其中、n、p均为整数);
e)公式还可以逆用:(、n均为整数)
a)幂的乘方法则:(,n都是整数数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆。
b)(,n都为整数)
c) 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底,但可以利用乘方法则化成同底,如将(-a)3化成-a3
d)底数有时形式不同,但可以化成相同。
e) 要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的,不要误以为(a+b)n=an+bn(a、b均不为零)。
f) 积的乘方法则:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=anbn (n为正整数)。
g) 幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
三、同底数幂的除法
a)同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即(a≠0).
b)在应用时需要注意以下几点:
1) 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a0。
2)任何不等于0的数的0次幂等于1,即a0=1(a≠0) ,如100=1 ,(-2.50=1),则00无意义。
c)任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即( a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的,当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如, d)运算要注意运算顺序。
四、整式的乘法
单项式相乘,它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:
a)积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆;
b)相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则;
c)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;
d)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
e)单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点:
a)单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;
b)运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;
c) 在混合运算时,要注意运算顺序。
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点:
a)多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;
b)多项式相乘的结果应注意合并同类项;
c)对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式(x+a)和(nx+b)相乘可以得到。
五.平方差公式
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,即。
其结构特征是:
a)公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数;
b) 公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。
六、完全平方公式
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,即;
口诀:首平方,尾平方,2倍乘积在中央;
a)公式左边是二项式的完全平方;
b)公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍。
c)在运用完全平方公式时,要注意公式右边中间项的符号,以及避免出现这样的错误。
七、整式的除法
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加,其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式,所得商的项数与原多项式的项数相同,另外还要特别注意符号。
1.字母表示数
1)字母表示运算律
2)字母表示计算公式
字母可以表示任何数
2.代数式
1)概念:像4+3(x-1),x+x+(x+1),a+b,ab,2(+n),s/t 等式子都是代数式,单独一个数或一个字母也是代数式,如-5,a,b等.
2)书写要求:
①字母与字母相乘时,乘号通常简写作“ ”或省略不写;数字与字母相乘时,数字在前;带分数与字母相乘时,应先把带分数化成假分数后再与字母相乘;数字与数字相乘仍用“×”
②除法一般写成分数形式
③ 如果代数式是积或商的形式,单位直接写在后面;如果是和或差的形式,必须先把代数式用括号括起来再写单位。
3.整式
1)单项式:表示数字和字母的积,单独的一个数或一个字母也是单项式
① 系数:单项式中的数字因数(包括其前面的符号)
② 次数:单项式中,所有字母的指数的和;单独的数字是0次单项式
注意:
(1)单项式中数与字母之间都是乘积关系,凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式,如1/x不是单项式;
(2)单项式中不含加减运算;
(3)π是常数,在单项式中相当于数字因数;
(4)定义中的“数”可以是小数,也可以是分数、整数
2)多项式:几个单项式的和;在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫常数项;一个多项式含有几项,就叫几项式;
次数: 多项式里,次数最高项的次数,是多项式的次数;
注意:
(1)确定多项式的项时,不要忽略它的符号;
(2)关于某个字母的n次项式,要求是合并同类项后的最简多项式
3) 整式:单项式和多项式统称为整式
4)同类项:
① 概念:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项;与它们的系数大小无关,与字母顺序无关;几个常数也是同类项.
②合并同类项法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变
4.整式的加减:
1)整式加减是求几个整式的和或差的运算,其实质是去括号,合并同类项
2)法则:几个整式相加减,用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项
3)化简求值:一是相加减化简,二是用具体数值代替整式中的字母,三是按式子的运算关系计算,计算其结果
5.探索与表达规律:图形中的规律、数字中的规律、算式中的规律
同底数幂的乘法
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m,n是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时,仍适用法则,am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数).
幂的乘方
幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(am)n=anm(m,n都是正整数)
(1)不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆,幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化为指数的加法运算(底数不变).
(2)这个性质可逆用,即anm=(am)n=(an)m
积的乘方
积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=an·bn(n为正整数).这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方.
(1)这个性质可逆用,即(ab)n,即指数相同的幂相乘,可先把底数相乘,再求积的同次幂.
(2)进行积的乘方运算时,不要出现漏掉一些因式乘方的错误,如(-2ab2)3≠-2a3b6等.
单项式乘以单项式
系数乘以系数作为积中的系数,所有不同因式都作为积中的因式,相同字母或相同因式的指数由该字母或因式的指数和为它们的指数.
(1)对于只在一个单项式中出现的字母,应连同它的指数-起写在积里,应特别注意不能漏掉这部分因式.
(2)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算,应按“先算乘方,再算乘法”的顺序进行.
(3)单项式乘以单项式,结果仍是单项式.对于字母因式的幂的底数是多项式形式的,应将其视为一个整体来运算.三个或三个以上的单项式相乘,法则仍适用.
单项式乘以多项式
(1)单项式与多项式的乘法法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
(2)单项式与多项式的积仍是一个多项式,项数与原多项式的项数相同.
多项式乘以多项式
多项式乘以多项式的法则:(a+b)(m+n)=ma+mb+na+这就是说:多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
应注意的问题
(1)运算时要按一定的顺序进行,防止漏项,积的项数在没有合并同类项以前,应是两个多项式的项数的积.
(2)运算时要注意积的符号.
(3)运算结果有同类项的要合并同类项,并按某个字母的升幂或降幂排列.
解题方法指导
[例](1)100·10m+1·100m-3;(2)-(-a)3·(-a)2·(-a);(3)(b-a)·(b-a)2;(4)(-a)3(-a)2(-a)+(-a4)(-a)
分析:应用同底数幂的乘法法则时,先把各式化成同底数幂,应熟悉下列转换等式:(a-b)2=(b-a)2,(a-b)3=-(b-a)计算时,结合乘法法则确定积的性质符号.
解(1)原式=102·10m+1·10m-3=102+m+1+m-3=102m;
(2)原式=-(-a)3+2+1=-(-a)6=-a6;
(3)原式=(b-a)l+2=(b-a)3;
(4)原式=(-a)3+2+1-a4·
说明:同底数幂的乘法法则公式中,底数可以是多项式,不能简单地认为底数只是一个单项式,如(3x-2y-z)3·(3x-2y-z)5也适用公式.
同底数幂的乘法
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m,n是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时,仍适用法则,am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数).
幂的乘方
幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(am)n=anm(m,n都是正整数)
(1)不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆,幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化为指数的加法运算(底数不变).
(2)这个性质可逆用,即anm=(am)n=(an)m
积的乘方
积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=an·bn(n为正整数).这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方.
(1)这个性质可逆用,即(ab)n,即指数相同的幂相乘,可先把底数相乘,再求积的同次幂.
(2)进行积的乘方运算时,不要出现漏掉一些因式乘方的错误,如(-2ab2)3≠-2a3b6等.
单项式乘以单项式
系数乘以系数作为积中的系数,所有不同因式都作为积中的因式,相同字母或相同因式的指数由该字母或因式的指数和为它们的指数.
(1)对于只在一个单项式中出现的字母,应连同它的指数-起写在积里,应特别注意不能漏掉这部分因式.
(2)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算,应按“先算乘方,再算乘法”的顺序进行.
(3)单项式乘以单项式,结果仍是单项式.对于字母因式的幂的底数是多项式形式的,应将其视为一个整体来运算.三个或三个以上的单项式相乘,法则仍适用.
单项式乘以多项式
(1)单项式与多项式的乘法法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
(2)单项式与多项式的积仍是一个多项式,项数与原多项式的项数相同.
多项式乘以多项式
多项式乘以多项式的法则:(a+b)(m+n)=ma+mb+na+这就是说:多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
应注意的问题
(1)运算时要按一定的顺序进行,防止漏项,积的项数在没有合并同类项以前,应是两个多项式的项数的积.
(2)运算时要注意积的符号.
(3)运算结果有同类项的要合并同类项,并按某个字母的升幂或降幂排列.
解题方法指导
[例](1)100·10m+1·100m-3;(2)-(-a)3·(-a)2·(-a);(3)(b-a)·(b-a)2;(4)(-a)3(-a)2(-a)+(-a4)(-a)
分析:应用同底数幂的乘法法则时,先把各式化成同底数幂,应熟悉下列转换等式:(a-b)2=(b-a)2,(a-b)3=-(b-a)计算时,结合乘法法则确定积的性质符号.
解(1)原式=102·10m+1·10m-3=102+m+1+m-3=102m;
(2)原式=-(-a)3+2+1=-(-a)6=-a6;
(3)原式=(b-a)l+2=(b-a)3;
(4)原式=(-a)3+2+1-a4·
说明:同底数幂的乘法法则公式中,底数可以是多项式,不能简单地认为底数只是一个单项式,如(3x-2y-z)3·(3x-2y-z)5也适用公式.
初三数学知识点整式总结
数学是被很多人称之拦路虎的一门科目,同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺,以下是小编为大家收集整理的初三数学知识点整式总结,欢迎阅读参考。
一、代数式
1. 概念:用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
2. 代数式的值:用数代替代数式里的字母,按照代数式的运算关系,计算得出的结果。
二、整式
单项式和多项式统称为整式。
1. 单项式:1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2) 单项式的系数:单项式中的 数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
3) 单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2. 多项式:1)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数:多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
3. 多项式的排列:
1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项,包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分,一起移动。
三、整式的运算
1. 同类项所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,几个常数项也叫同类项。同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关。
2. 合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。即同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
3. 整式的加减:有括号的先算括号里面的,然后再合并同类项。
4. 幂的运算:
5. 整式的乘法:
1) 单项式与单项式相乘法则:把它们的系数、同底数幂分别相乘,其余只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的`因式。
2) 单项式与多项式相乘法则:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
3) 多项式与多项式相乘法则:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
6. 整式的除法
1) 单项式除以单项式:把系数与同底数幂分别相除作为上的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
2) 多项式除以单项式:把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加。
四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式
1) 提公因式法:(公因式多项式各项都含有的公共因式)吧公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。取各项系数的最大公约数作为因式的系数,取相同字母最低次幂的积。公因式可以是单项式,也可以是多项式。
2) 公式法:A.平方差公式; B.完全平方公式:
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