教学目的：
掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问题
教学重点：
圆的标准方程及有关运用
教学难点：
标准方程的灵活运用
教学过程：
一、导入新课，探究标准方程
二、掌握知识，巩固练习
练习：
⒈说出下列圆的方程
⑴圆心（3，-2）半径为5⑵圆心（0，3）半径为3
⒉指出下列圆的圆心和半径
⑴（x-2）2+(y+3)2=3
⑵x2+y2=2
⑶x2+y2-6x+4y+12=0
⒊判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置关系
⒋圆心为（1，3），并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的方程
三、引伸提高，讲解例题
例1、圆心在y=-2x上，过p(2,-1)且与x-y=1相切求圆的方程（突出待定系数的数学方法）
练习：
1、某圆过(-2,1)、(2,3)，圆心在x轴上，求其方程。
2、某圆过A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4)，求圆的方程。
例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。
例3、点M(x0,y0)在x2+y2=r2上,求过M的圆的切线方程(一题多解,训练思维)
[摘 要] 在“圆的标准方程”的教学中，基于对教学内容、教学方法的分析，从教学情境创设、标准方程构建、变式训练与实际问题的解决等角度，进行了详细的教学设计与实施。基于本内容的教学进行反思，发现对教学内容的定位，在学生实际与评价要求之间寻找平衡点，以及培养学生的数学意识，都是高中数学教学中需要重点关注的事项。
[关键词 “圆的标准方程”是人教版高中数学（必修）教材第二册的内容。作为数学中的经典内容，学生在此前的数学学习中积累了大量的关于圆的经验与知识。到了高中阶段，从方程的角度来描述圆，对学生的思维方式提出了新的挑战，从而本内容的教学也就成为高中数学教学中具有一定标杆意义的事件。在日常教学中，笔者对本课的教学进行了深入的思考，现结合本课的教学设计，谈谈笔者对本课教学的研究与感受。
[教学内容分析
圆的标准方程在解析几何内容中具有重要的基础作用，同时具有承上启下的地位。从知识构建的角度来看，圆的标准方程是其他图形方程学习的基础，也是二次曲线学习的起始知识，直线与圆的关系、圆锥曲线等知识，均需在此基础上进行构建。从学生学习的角度来看，由于圆是学生研究最多的基本图形之一，因此学生对圆有着丰富的感性认识，也有着丰富的数学知识作为支撑，也因此对其标准方程的学习，可以打开学生学习其他曲线方程的思路，可以为后面知识的学习形成一种较高思维水平的定式作用（思维定式并不总是消极的，很多时候学生的学习之所以没有障碍，正是一定水平上的思维定式作用的结果）。从这个角度讲，圆的标准方程这一节课的教学，需要花大气力进行基础作用的奠基。但是需要看到的是，解析几何中对圆的研究，毕竟不同于学生此前的学习方式，尤其是通过方程来描述像圆这样的曲线，学生在思维方式上就有困难，这种困难往往会影响学生构建对圆的标准方程认识时的学习心理，因此在教学设计中需要重视这一因素。从问题解决（数学知识应用）的角度来看，本课需要结合高考
要求，在让学生运用圆的标准方程解决数学问题及实际问题的过程中，形成一种良好的直觉，即对于一些基本的与之相关的问题，要能够在第一时间反映出其与圆的标准方程有关，需以之为工具实现问题的求解。如上面所分析的一样，这种基础性的知识，只有成为良好的直觉，才能成为有效的解题工具。
结合基本的教学经验，在教学目标的确定上，笔者以为本课的内容可以在协调好三维目标的基础上具体制定这样的教学目标：
①掌握圆的标准方程，并能够根据圆的标准方程反映出圆心坐标与半径；
②在圆的标准方程建立的过程中形成数形结合思想，深刻体验用代数方法解决几何问题的过程；
③在用圆的标准方程描述圆的过程中体验数学的简洁美与对应美。关于这样的目标界定，笔者重点解释一下第三个目标：从传统的'角度看，情感态度价值观这一目标往往容易虚化，在实际教学中不容易得到真正的关注。在笔者看来，就圆的标准方程这一教学而言，更实在的是让学生在对圆的图形的认识中发现其是最简洁的基本图形之一，而描述其的标准方程亦具有对称、简洁的特征，认识到这两点即可，不需要追求过多、过空的所谓情感态度。
[教学方法分析
教学有法，教无定法，贵在得法！对于圆的标准方程这一内容而言，采用什幺样的教学方法，是教学中需要高度重视的问题。结合笔者此前的教学经验，同时注意学生主体作用的发挥，笔者在此内容的教学中确定这样的两个教学方法：一是问题驱动（其中包括数学探究等环节），促进学生的数学建模；二是通过任务驱动的方法，促进学生应用圆的标准方程的知识解决问题。
对于这两个教学方法的确定，笔者的思考是这样的：一方面，本知识的基础性作用，决定了其在学生的考试评价中需要发挥重要作用，因此首先必须考虑到考试的需要，因而用问题驱动可以让学生不断地突破最近发展区，从而形成一种较好的数学思维方式与学习习惯。教学经验表明，很多学生在数学学习中之所以感觉困难，就是因为没有一种良好的数学意识与思维习惯，而像圆的标准方程这样的基础性知识，必须成为培养学生数学意识与思维习惯的良好载体。另一方面，任务驱动可以在问题驱动的基础上更好地发挥学生的内驱力，从而让圆的标准方程的运用能够真正成为学生的良好直觉，而这一思路其实也呼应了第一点对教学目标的阐述。
需要注意的是，教学方法的确定原则上只是宏观角度对学生学习过程预设基础上的，对教学行为判断的产物。在具体的教学过程中还需要根据细节进行适当地调整，如果将教学方法（包括教学过程）模式化，那这样的教学方法确定是没有意义的。
[教学过程阐述
在圆的标准方法的教学设计中，笔者确定了这样的三个步骤，现结合教学过程具体说明：
第一步，创设情境，激活思维。圆的标准方程在生活中的应用看起来并不那幺直接，因此情境的创设需要一定程度的思考。笔者所选择的是汽车过隧道的例子，将隧道的截面抽象成一个半圆，给出其半径，然后提出问题：已知某车的宽度与高度，其能否进入这个隧道？这是一个被多人选用过的情境，其好就好在能够将圆的标准方程巧妙地蕴含其中，同时学生又可以在原有数学知识的基础上解决这个问题。
第二步，问题驱动，展开探究。在上述问题的驱动之下，引导学生的思维对情境进行加工，并寻找问题解决的思路。在教学过程中，笔者发现学生起初的思路是原有知识体系的产物，比如说有学生试图通过勾股定理，去算出汽车对角线的距离并与圆的半径进行对比。这是一种思路，也能够体现学生的已有能力水平，从最近发展区的观点来看，教学中教师要做的就是从这个水平出发，让学生的思维向圆的标准方程发展。于是，数学探究的过程也就展开了。此时，教师可以抛出一个问题：能否以坐标为工具，来解决这个问题？在问题驱动下的探究过程中，学生的学习思路大致相同，他们首先要在坐标上建立起隧道与汽车两个对象（当然这是数学抽象的产物），然后将相关的数据记录其中，于是隧道被抽象为圆心在原点、具有一定半径的半圆，而汽车被抽象为一个已知长和宽的矩形。于是实际问题也就成为一个纯粹的数学问题，最终学生要比较的也就是直角坐标上圆的半径与矩形对角线的长度的关系，而其中的难点又是圆的半径的确定。于是学生的研究重点就转移到了坐标系的圆上来，这个时候教师进一步提出问题：如何在直角坐标系上描述一个圆呢？有此问题驱动，其后建立圆的标准方程与传统教学就接轨了，考虑到同行们相对熟稔，此不赘述。
第三步，变式训练，任务驱动。这一步有两个任务，一是向学生提出问题，如果圆心不在原点处，那圆的标准方程如何建立？二是呼应此前的实际问题，并给出新的实际问题，以让学生具有一个运用圆的标准方程去解决不同难度实际问题的机会，从而形成良好的解题直觉。
在上述三个步骤中，关键在于学生思路的打开，也就是教学情境的创设与其的引导。多年的教学经验让笔者意识到，很多时候学生感觉数学学习困难，并不完全是因为数学知识本身所谓的“难”上，而是学生入不了“境”，因而也就找不到“门”。因此，创设情境非常重要，打开学生的思路亦很重要，有此两个环节作为基础，学生的思路一旦打开，后面的数学概念建构有时反而比较简单，本节课的教学就是如此。
[教学及其反思
反思本课的教学，尤其是将此次教学的整体过程与此前进行比较时，还是有所发现：
其一，数学内容的定位问题。圆的标准方程在曲线方程中起着什幺样的作用？这样的问题此前没有仔细思考过，而一旦思考之后，就发现其在知识构建、能力形成乃至于数学意识与学习习惯形成方面都具有重要的作用，这种作用要想真正发挥出来，只能依靠好的教学设计。
其二，教学设计要在学生的基础与考试要求之间做好平衡，过于偏向前者，则满足不了考试要求；过于偏向后者，则学生的学习过程就是空中楼阁。寻找这个平衡点，往往成为评价教师教学能力的关键，同时也是教师自身专业成长的着力点。
其三，数学意识是数学教学的重要方向。笔者在圆的标准方程的教学中，注意比较过数学成绩好与差学生的表现，结果发现数学学得好的学生，他们往往有一个极好的直觉，能够迅速地判断出数学学习的下一步方向，而学困生就缺乏这样的意识。有此观察之后，笔者还注意研究过数学进步较快的学生的学习特点，发现他们的数学意识也挺好，这就使笔者确信数学意识的培养很重要。
高二数学圆与方程教学计划设计
(1)知识目标:
1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;
2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.
(2)能力目标:
1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;
2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;
3.增强学生用数学的意识.
(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
2.教学重点.难点
(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.
(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰
当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
3.教学过程
(一)创设情境(启迪思维)
问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?
[引导] 画图建系
[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)
解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的`直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)
将x=2.7代入,得 .
即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)
问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程?
答:x2 y2=r2
2.如果圆心在 ,半径为 时又如何呢?
[学生活动] 探究圆的方程。
[教师预设] 方法一:坐标法
如图,设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为 ①
把①式两边平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2
方法二:图形变换法
方法三:向量平移法
(三)应用举例(巩固提高)
I.直接应用(内化新知)
问题三:1.写出下列各圆的方程(课本P77练习1)
(1)圆心在原点,半径为3;
(2)圆心在 ,半径为 ;
(3)经过点 ,圆心在点 .
2.根据圆的方程写出圆心和半径
(1) ; (2) .
II.灵活应用(提升能力)
问题四:1.求以 为圆心,并且和直线 相切的圆的方程.
[教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.
2.已知圆的方程为 ,求过圆上一点 的切线方程.
[学生活动]探究方法
[教师预设]
方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率-垂直)
方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率-联立方程)
方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式) [多媒体课件演示]
方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式)
3.你能归纳出具有一般性的结论吗?
已知圆的方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是: .
III.实际应用(回归自然)
问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱 的长度(精确到0.01m).
[多媒体课件演示创设实际问题情境]
(四)反馈训练(形成方法)
问题六:1.求以C(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.
2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的方程.
3.求圆x2 y2=13过点(-2,3)的切线方程.
4.已知圆的方程为 ,求过点 的切线方程.
(五)小结反思(拓展引申)
1.课堂小结:
(1)圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为:
当圆心在原点时,圆的标准方程为:
(2) 求圆的方程的方法:①找出圆心和半径;②待定系数法
(3) 已知圆的方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是:
(4) 求解应用问题的一般方法
2.分层作业:(A)巩固型作业:课本P81-82:(习题7.6)1.2.4
(B)思维拓展型作业:
试推导过圆 上一点 的切线方程.
3.激发新疑:
问题七:1.把圆的标准方程展开后是什么形式?
2.方程: 的曲线是什么图形?
教学设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先,在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上,用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程,然后,利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生用数学的意识。另外,为了培养学生的理性思维,我分别在引例和问题四中,设计了两次由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.
本节课的设计了五个环节,以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力。
【微语】能带来一场噩梦的人，他可能是携带最大的噩梦。
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