向量数量积的物理背景与定义
教材说明
平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题;夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。
平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。
课型 新授课
课时 1课时(练习 共2课时)
学情分析
在学平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用;在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。
本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
教学内容分析
教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来;向量数量积与向量的长度及夹角的关系;进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
教材的编写的特点：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》(B版)第二章、第3节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。?
教学目标
知识与技能：
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
(2)掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算;
(3)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.
过程与方法：
通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想
情感态度与价值观：
通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯
教学重点和难点
重点：平面向量的数量积的概念和性质;用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角;平面向量数量积的运算律的探究及应用.
难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解;平面向量数量积的灵活应用。
教学策略选择与设计
《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。
教学资源与手段
资源：三角板，彩粉笔，电脑，多媒体。
手段：通过师生互动，共同探讨生成新知，更加有助于学生探究能力的培养。
教学过程设计
教学环节 教学过程 师生活动 设计意图
情景引入 1、给出有关材料并提出问题
问题1： 表示一个么角?
SHAPE MERGEFORMAT
(1)如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功： 。
(2)这个公式有什么特点?请完成下列填空：
①W(功)是 量，②F(力)是 量，
③S(位移)是 量，④ 是 。
(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
提问
学生易答：表示力 的方向与位移 的方向的夹角
创设学生熟悉的问题情景，将学生自然的带入到课堂的教学内容中来。
探究问题
形成定义
(1)探究两个向量的夹角的定义。
问题2：你能指出下列图中两向量的夹角吗?
问题3：对于两个非零向量 ，你能给出它们夹角的定义吗?
问题4：思考向量夹角的范围
问题5： 表示什么?
SHAPE MERGEFORMAT
(2)探究向量 在 方向上的投影
问题6：对于两个非零向量 ，向量 在向量 方向上的投影为什么?你能从图中作出 在 方向上的投影吗?
(3)探究 与 的数量积.
问题7：F(力)是 量， S(位移)是 量，W(功)是 量
定义：
叫做 与 的数量积(或内积)，记作： .
即： = 。(板书三)
问题8：向量数量积的运算与线性运算的结果有什么不同?
若 是非零向量，设夹角为θ，完成下表：
夹角θ的范围的符号
问题9：根据投影的概念，数量积 =
的几何意义如何? (板书四)
问题10：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积
(板书五)
①②③学生容易得到，④学生可能会出现两种答案，教师给予指导
学生思考回答，教师予以补充，关键是点出两向量起点相同，并给出夹角符号
有了问题2的铺垫，学生容易得出0 ，
教师强调同向时为0，反向时为π.
教师补充：
(1)当
= 时，向量 与向量 互相垂直，记作 .
(2)在讨论垂直问题时规定：零向量与任一向量垂直.
生答：力F在位移方向上的分量
师补充：我们把 称为力F在位移S方向上的投影
师生共作向量 在 方向上的投影图象。
对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，将公式中的力与位移推广到一般向量 与 。
怎么来规定
平面向量数量积的运算律
① 交换律： ( = ( ② 数乘结合律：( )( = ( ( ) = (( )
③ 分配律：( + )( = ( + (
平面向量数量积的坐标表示
①已知两个向量 ， ，则 .
②设 ，则 .
③平面内两点间的距离公式 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、 ，那么 .
④向量垂直的判定 两个非零向量 ， ，则 .
⑤两向量夹角的余弦 cos( = ( ).
二、典型例题
平面向量数量积的运算
例题1 已知下列命题：
① ; ② ; ③ ; ④
其中正确命题序号是 ②、④ .
点评： 掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
例题2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为 ，分别求 .
解(1)当 时， = 或 = .
(2)当 时， = .
(3)当 的夹角为 时， = .
变式训练：已知 ，求
解： =
点评： 熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.
夹角问题
例题3 若 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 ( )
解：依题意 故选C
变式训练1：① 已知 ，求向量 与向量 的夹角.
② 已知 ， 夹角为 ，则 .
解： ① ，故夹角为 .
②依题意得 .
变式训练2：已知 是两个非零向量，同时满足 ，求 的夹角.
法一 解：将 两边平方得 ，
则 ， 故 的夹角.为 .
法二： 数形结合
点评：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.
向量模的问题
例题4 已知向量 满足 ，且 的夹角为 ，求 .
解： ，且 的夹角为;
变式训练 ：
①(20XX年湖北)已知向量 ，若 不超过5，则 的取值范围 ( )
②(20XX年福建) 已知 的夹角为 ， ， ，则 等于( )
A 5 4 3 1
解： ① ， 故选C
② ， ，解得 ，故选B
点评：涉及向量模的问题一般利用 ，注意两边平方是常用的方法.
平面向量数量积的综合应用
例题5 已知向量 .
若 ; (2)求 的最大值 .
解：(1)若 ，则 ， .
(2) = =
， 的最大值为 .
例题6已知向量 ，且 满足 ，
求证 ; (2)将 与 的数量积表示为关于 的函数 ;
(3)求函数 的最小值及取得最小值时向量 与向量 的夹角 .
解：(1)，
故
(2) ，
故 .
教学目标：
(i)知识目标：
(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.
(2) 平面向量数量积的应用.
(ii)能力目标：
(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.
(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.
教学重点： 掌握平面向量的数量积及其几何意义.
用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.
教学难点： 平面向量数量积的综合应用.
?教学过程：
一、知识梳理
平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量|
平面向量数量积的运算律
① 交换律： ( = ( ② 数乘结合律：( )( = ( ( ) = (( )
③ 分配律：( + )( = ( + (
平面向量数量积的坐标表示
①已知两个向量 ， ，则 .
②设 ，则 .
③平面内两点间的距离公式 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、 ，那么 .
④向量垂直的判定 两个非零向量 ， ，则 .
⑤两向量夹角的余弦 cos( = ( ).
二、典型例题
平面向量数量积的运算
例题1 已知下列命题：
① ; ② ; ③ ; ④
其中正确命题序号是 ②、④ .
点评： 掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
例题2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为 ，分别求 .
解(1)当 时， = 或 = .
(2)当 时， = .
(3)当 的夹角为 时， = .
变式训练：已知 ，求
解： =
点评： 熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.
夹角问题
例题3 若 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 ( )
解：依题意 故选C
变式训练1：① 已知 ，求向量 与向量 的夹角.
② 已知 ， 夹角为 ，则 .
解： ① ，故夹角为 .
②依题意得 .
变式训练2：已知 是两个非零向量，同时满足 ，求 的夹角.
法一 解：将 两边平方得 ，
则 ， 故 的夹角.为 .
法二： 数形结合
点评：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.
向量模的问题
例题4 已知向量 满足 ，且 的夹角为 ，求 .
解： ，且 的夹角为;
变式训练 ：
①(20XX年湖北)已知向量 ，若 不超过5，则 的取值范围 ( )
②(20XX年福建) 已知 的夹角为 ， ， ，则 等于( )
A 5 4 3 1
解： ① ， 故选C
② ， ，解得 ，故选B
点评：涉及向量模的问题一般利用 ，注意两边平方是常用的方法.
平面向量数量积的综合应用
例题5 已知向量 .
若 ; (2)求 的最大值 .
解：(1)若 ，则 ， .
(2) = =
， 的最大值为 .
例题6已知向量 ，且 满足 ，
求证 ; (2)将 与 的数量积表示为关于 的函数 ;
(3)求函数 的最小值及取得最小值时向量 与向量 的夹角 .
解：(1)，
故
(2) ，
故 .
向量数量积的物理背景与定义
教材说明
平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题;夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。
平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。
课型 新授课
课时 1课时(练习 共2课时)
学情分析
在学平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用;在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。
本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
教学内容分析
教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来;向量数量积与向量的长度及夹角的关系;进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
教材的编写的特点：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》(B版)第二章、第3节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。?
教学目标
知识与技能：
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
(2)掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算;
(3)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.
过程与方法：
通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想
情感态度与价值观：
通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯
教学重点和难点
重点：平面向量的数量积的概念和性质;用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角;平面向量数量积的运算律的探究及应用.
难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解;平面向量数量积的灵活应用。
教学策略选择与设计
《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。
教学资源与手段
资源：三角板，彩粉笔，电脑，多媒体。
手段：通过师生互动，共同探讨生成新知，更加有助于学生探究能力的培养。
教学过程设计
教学环节 教学过程 师生活动 设计意图
情景引入 1、给出有关材料并提出问题
问题1： 表示一个么角?
SHAPE MERGEFORMAT
(1)如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功： 。
(2)这个公式有什么特点?请完成下列填空：
①W(功)是 量，②F(力)是 量，
③S(位移)是 量，④ 是 。
(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
提问
学生易答：表示力 的方向与位移 的方向的夹角
创设学生熟悉的问题情景，将学生自然的带入到课堂的教学内容中来。
探究问题
形成定义
(1)探究两个向量的夹角的定义。
问题2：你能指出下列图中两向量的夹角吗?
问题3：对于两个非零向量 ，你能给出它们夹角的定义吗?
问题4：思考向量夹角的范围
问题5： 表示什么?
SHAPE MERGEFORMAT
(2)探究向量 在 方向上的投影
问题6：对于两个非零向量 ，向量 在向量 方向上的投影为什么?你能从图中作出 在 方向上的投影吗?
(3)探究 与 的数量积.
问题7：F(力)是 量， S(位移)是 量，W(功)是 量
定义：
叫做 与 的数量积(或内积)，记作： .
即： = 。(板书三)
问题8：向量数量积的运算与线性运算的结果有什么不同?
若 是非零向量，设夹角为θ，完成下表：
夹角θ的范围的符号
问题9：根据投影的概念，数量积 =
的几何意义如何? (板书四)
问题10：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积
(板书五)
①②③学生容易得到，④学生可能会出现两种答案，教师给予指导
学生思考回答，教师予以补充，关键是点出两向量起点相同，并给出夹角符号
有了问题2的铺垫，学生容易得出0 ，
教师强调同向时为0，反向时为π.
教师补充：
(1)当
= 时，向量 与向量 互相垂直，记作 .
(2)在讨论垂直问题时规定：零向量与任一向量垂直.
生答：力F在位移方向上的分量
师补充：我们把 称为力F在位移S方向上的投影
师生共作向量 在 方向上的投影图象。
对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，将公式中的力与位移推广到一般向量 与 。
怎么来规定
平面向量的数量积教案
考纲要求：掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题，掌握向量垂直的条件.
高考预测：(1)客观题---- 考查数量积的定义、性质及运算律，难度较低.
(2)主观题---以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用，多与函数、三角函数、不等式联系，难度中等.
教学目标：
(i)知识目标：
(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.
(2) 平面向量数量积的应用.
(ii)能力目标：
(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.
(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.
教学重点： 掌握平面向量的数量积及其几何意义.
用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.
教学难点： 平面向量数量积的综合应用.
教 具：多媒体.
教材教法分析：
本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课，重点掌握平面向量数量积及几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.渗透化归思想以及数形结合思想.
?教学过程：
一、追溯
(修改：这部分属知识点回顾，既然是高三复习课，可把相关知识点以填空的形式展示出来。一方面可要求不主动学习的学生完成必要的任务，另一方面也把知识的重点部分展现在所有学生面前。)
平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量|
平面向量数量积的运算律
① 交换律： ( = ( ② 数乘结合律：( )( = ( ( ) = (( )
③ 分配律：( + )( = ( + (
平面向量数量积的坐标表示
①已知两个向量 ， ，则 .
②设 ，则 .
③平面内两点间的距离公式 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、 ，那么 .
④向量垂直的判定 两个非零向量 ， ，则 .
⑤两向量夹角的余弦 cos( = ( ).
二、典型例题
平面向量数量积的运算
例题1 已知下列命题：
① ; ② ; ③ ; ④
其中正确命题序号是 ②、④ .
点评： 掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
例题2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为 ，分别求 .
解(1)当 时， = 或 = .
(2)当 时， = .
(3)当 的夹角为 时， = .
变式训练：已知 ，求
解： =
点评： 熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.
夹角问题
例题3 (20XX年北京)若 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 ( )
【微语】当你仰望星辰，请将其中一颗当成我的灵魂。
温馨提示：
