教育微观察
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发布时间: 2024年12月23日 04:17
已知数列的前n项和为Sn，并且满足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)令Tn＝Sn，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有Tn≤Tm？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
（1）an＝2n.（2）m＝8或m＝9
(1)令n＝1，由a1＝2及nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，①得a2＝4，故a2－a1＝2，
当n≥2时，有(n－1)an＝Sn－1＋n(n－1)，②
①－②，得nan＋1－(n－1)an＝an＋2n.整理得an＋1－an＝2(n≥2)．
当n＝1时，a2－a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
故an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)由(1)得Sn＝n(n＋1)，所以Tn＝(n2＋n)．
故Tn＋1＝[(n＋1)2＋(n＋1)]，令
即即
解得8≤n≤9.故T1<T2<…<T8＝T9>T10>T11>…
故存在正整数m对一切正整数n，总有Tn≤Tm，
此时m＝8或m＝9
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
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