已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{an}

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发布时间: 2024年11月26日 02:38

已知函数f(x)＝ax²＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n(n，S_n)(n∈N^*)均在函数y＝f(x)的图象上，求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值．

a_n＝－2n＋8(n∈N^*)，当n＝3或n＝4时，S_n取得最大值12

由题意可知：∵f(x)＝ax²＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7对应相等可得a＝－1，b＝7，

∴可得f(x)＝－x²＋7x.因为点P_n(n，S_n)(n∈N^*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以有S_n＝－n²＋7n.

当n＝1时，a₁＝S₁＝6；

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n_－₁＝－2n＋8，a₁＝6适合上式，

∴a_n＝－2n＋8(n∈N^*)．

令a_n＝－2n＋8≥0得n≤4，当n＝3或n＝4时，S_n取得最大值12.

综上，a_n＝－2n＋8(n∈N^*)，当n＝3或n＝4时，S_n取得最大值12.

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

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